LEGI DE COMPOZITIE Definisie: Fie M o multime nevidă. O aplicație :MXM-M (x:y) - (x:y), se numeşte
lege de compozitie sau operație algebrică definită pe multimea M.
Notatii: (x:y) se notează 1.V. A (x;y) se numeşte compusul lui x cu y.
Definiție: HCM se numeste parte stabilă a lui M în raport cu legea de compozitie
MMM, dacă Vx. veH=> 0(5) € H.
Proprietățile legilor de compozitie
1. Asociativitatea: (ry) = r *(3)
.x, y, zeM.
2. Comutativitatea: r. y = yox, x, y e M.
3. Element neutru: 3e e M astfel incat reener, VXEM.
4. Elemente simetrizabile: Considerăm : MXM-Mo lege de compoziție asociativă care
admite element neutru, notat cu ..e". Un elementxe M se numeste element simetrizabil dacă
3x EM astfel încât . X=X -r-
Exemple: 1. Pe Z se consideră legea de compozitie xy=px+y+2, cu peZ. Så se determine
numărul întreg p astfel încât legea de compoziție ... "să fie comutativă.
Soluție: Observăm că y* Xpy-x+2. Din definiția comutativității, obținem relația
px+y+2= py+x+2. Vx, y ez, (x-y)(p-1)=0 <> p=1,
2. Pe mulțimea Z a numerelor intregi definim legea de compozitie
** y =3xy+7x+7y+14
a)Să se demonstreze că legea, "este asociativă.
b) Så se determine elementul neutru al legii ...";
Soluţie: a)(x+y)+3 = 3xy + 7x + 7y +14 :=u*z = 3uz+7u+7z+14=3(3xy+7x+7y+14)2+
7(3xy+7x+7y+14)+72+14=9xyz+21xz+21y z+42z+21xy +49x+49y+9847z+14=
=9xyz+21xy-21xz+2lyz+49x +49y+49z+112
**(y*2)=x*(3yz+7x+72+14)=
** v=3xv+7x+7v+14=3x(3yz+7y+7z+14)+7x+ 7(3yz+7y+7z+14)+14=
9xyz+21xy+21xz+42x +7x+2lyz+49y+49z+98+14-9xyz+21xy+21 x2 +21yz+112.
Cei doi termeni ai proprietății de asociativitate sunt egali, ceea ce demonstrează că legea este
asociativa
b) Din x*ex=> 3xe+7x+7e+14=x73xe+6x+7e+14=0(3x+7) +2(3x+7) 0=>
(+2)( 3x+7)=0, VA 67,2e12-0 Se=22.
Pentru că legea este comutativă, analog din e* xx -2.