Given f(x)=2x^2+9x+k, and the remainder when f(x) is divided x+7 is 32, then what is the value of k?

Set up either long division or synthetic div.  I'd do the latter.

Your divisor for synth. div. should be -7.

                             
Then              -7 /  2      9      k
                                    -14   +35
                         
                             2      -5      k+35                 Rem is 32; 
                                                                     Let 32 = k + 5 and solve for k:

                                                                           k = -3.

Let's check that.  Is k correct?

Then              -7 /  2      9      -3
                                    -14   +35
                         
                             2      -5      -3+35  = 32

Since the rem is 32, we are correct; k = -3.